\chapter{代数基础(Algrbra)}
\section{群、环、域}
\begin{definition}{群(group)}{fubi}
	G是一个非空集合，*是定义在集合G上的一个二元运算，$(G,*)$被称为群，如果$(G,*)$满足以下条件：\\
	(1)  单位元(identity element)：$\exists e \in G,\forall a \in G \Rightarrow e*a=a$，此时我们称e为G的左幺员(member of the upper-left)。\\
	(2)  逆元(inverse element)：$\forall a \in G, \exists a' \in G,a' *a =e$，此时我们称元素a'为a的左逆元(left inverse element)。
	(3)  封闭(closure)：对于任意$a,b \in G \Rightarrow a*b \in G$.\\
	(4)  结合律(associative)：对于任意$a,b,c \in G \Rightarrow a*(b*c)=(a*b)*c$.
\end{definition}

\begin{definition}{环(ring)和交换环(communicative ring)}{fubi}
	设R是一个给定的集合，在其上定义了两种二元运算$+,\circ$，且满足以下条件:\\
	(1)$(R,+)$是一个交换群。\\
	(2)$(R,\bullet)$是一个半群。\\
	(3)$a,b,c \in R,a \bullet (b+c)=(a \bullet b)+(a \bullet c)$。\\
	我们称$(R,+, \bullet)$为环,若$(R,\bullet)$是一个交换群，则称其为交换环。
\end{definition}

\begin{definition}{域(field)\cite{MaoWebBo-ModernCry}}{fubi}
	如果一个环中的非零元素与乘法运算结合，形成一个群，那么这个环叫做一个域。
\end{definition}

\section{有限域的结构}

\subsection{有素数元素的有限域}
\begin{definition}{素域(prime field)\cite{MaoWebBo-ModernCry}}{fubi}
	无真子域(no proper subfield)的域称为素域。
\end{definition}


\begin{definition}{素数阶的有限域(finite field of prime order)\cite{MaoWebBo-ModernCry}}{fubi}
	设p是任一素数，整数模p是一个p阶有限域，记为$\mathbb{Z}_p$,$\mathbb{Z}_p$的非零元素组成一个乘法群，记为$\mathbb{Z}_p^*$。通常也用符号$\mathbb{F}_p$表示$\mathbb{Z}_p$。
	。
\end{definition}

\begin{definition}{代数结构的特征(Characteristic of an Algebraic Strcture)\cite{MaoWebBo-ModernCry}}{fubi}
	一个代数结构A的特征是这样一个最小正整数n，对于每一个$a \in \mathbb{A}$，都有$na=\mathbb{0}$，如果不存在这样一个正整数，那么称此代数结构特征为0，特征记为$char(\mathbb{A})$。
\end{definition}

\begin{definition}{有限域的特征\cite{MaoWebBo-ModernCry}}{fubi}
	每一个有限域都有一个素数特征。
\end{definition}

\subsection{有限域模不可约多项式}


\subsubsection{一个代数机构的多项式}
\begin{definition}{代数结构上的多项式(Polynomials over an algebraic structure)\cite{MaoWebBo-ModernCry}}{fubi}
	设$\mathbb{A}$是一个代数结构,有$+,\times$两种运算，形如以下的表达式，称为在代数结构A的多项式。
	\[f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i x^i \]
	n是非负整数，系数$a_i$是$\mathbb{A}$中元素。我们把$\mathbb{A}$上的所有多项式组成的集合记为$\mathbb{A}[x]$.
\end{definition}

\begin{definition}{不可约多项式(irreducible polynomial)\cite{MaoWebBo-ModernCry}}{fubi}
	$f\in \mathbb{A}[x]$,如何f可以表示为$f=gh,g\in\mathbb{A}[x],h \in \mathbb{A}[x] $,则称f是在$\mathbb{A}[x]$上的可约多项式，反之称f为$\mathbb{A}[x]$上的不可约多项式。
\end{definition}
同一形式的多项式，可能在一个代数结构上可约，在另外一个代数结构上不可约。


\subsubsection{用不可约多项式构造域}

\begin{definition}{多项式模 \cite{MaoWebBo-ModernCry}}{fubi}
	代数结构$\mathbb{A}$,$f,g,q,r\in\mathbb{A}[x],g \neq 0 $,满足$f=qg+r$,我们称r是f除以g的余数，记为$r=f \pmod{g}$,$\mathbb{A}[x]$中所有多项式模g的余数组成的集合记为$\mathbb{A}[x]_g$。
\end{definition}

\begin{theorem}{ 多项式域\cite{MaoWebBo-ModernCry}}{fubi}
	F是一个域，f是$F[x]$上的一个非零多项式，如果f是一个不可约多项式，那么$F[x]_f$是一个环，并且是一个域。
\end{theorem}

\begin{theorem}{ 多项式域的元素个数\cite{MaoWebBo-ModernCry}}{fubi}
	素数p形成域F,f是F上的n阶不可约多项式，那么域$F[x]_f$的元素个数为$p^n$。
\end{theorem}


\subsection{用多项式基构造有限域}

\begin{theorem}{ 线性独立\cite{MaoWebBo-ModernCry}}{fubi}
	F是一个有限域，$f(x)\in F[x]$，f(x)是一个n阶不可约多项式，$\theta$是$f(x)=0$的一个根，元素$1,\theta,\theta ^2,\ldots,\theta ^{n-1}$称为在域F上线性独立，这意味着，只有$r_0=r_1=\ldots=r_{n-1}=0$时，$r_0+r_1 \theta +r_2 \theta^2 + \ldots +r_{n-1}\theta^{n-1}=0$才能成立。
\end{theorem}

\begin{definition}{多项式基(polynomial basis)\cite{MaoWebBo-ModernCry}}{fubi}
	F是一个有限域，$f(x)\in F[x]$，f(x)是一个n阶不可约多项式，$\theta$是$f(x)=0$的任意一个根，元素$1,\theta,\theta ^2,\ldots,\theta ^{n-1}$称为域F的多项式基。
\end{definition}


